後期中間 応用物理

tchebjudrawod tchebtrushadidtaku ethwod-tratr sxtrujijudra vevwoik strujutratrwod-NITKC shsasxaku/担当教諭はumz先生だ。書いている内容は教諭作成の授業資料とwikipediaのみを参考資料に書いているため、「違くね」となるかもしれないが、まあそういうことなので。著作権とか怖いのでできる限り異なった表現をする(したい)。自分が理解したまま書くので、詭弁となっているかもしれない。あとめっちゃ長い。

 図を載せていないのは面倒だし時間がかかるから。気が乗れば作る。

 (11/13)演習問題解いてて「あー解説作るか―」という問題がたまにいるので後ろに続ける。「問題の解き方」ではなく、問題に付随する物理的事象の解説であるから注意。

 さて、前期期末は確か電磁気の触り、電荷とか電場とかガウスの法則とかそんなあたりをやった気がする。後期中間はそこから進んで、主に電位やコンデンサの話になる。

 なんか最初に今回の試験で使いそうな公式をまとめておいた方が良い気がするからまとめておこう。もちろん、一様な電場とかそういう感じの都合のいい感じになっている。コンデンサは全部平行板だよ。

 このページは随時更新して、後期中間試験が終わり次第何かの言語で翻訳していく予定。

使う文字

 いろいろぐちゃぐちゃだけど許して。スマホだと表示が崩れる。横画面だとキレイに見えると思うけど、このブロックはそんなに重要じゃない(ただの文字の説明なので)。

$$\begin{array}{ccc}\hline F:\mathbf{力}\ [\mathrm{N}] & q,Q:\mathbf{電荷}\ [\mathrm{C}] \\ \hline E:\mathbf{電場}\ [\mathrm{N/C} & N:\mathbf{電気力線数}\ [\mathbf{本}] \\ \hline k:\mathbf{クーロンの法則の比例定数}\ k\ =\ \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} & S:\mathbf{面積}\ [\mathrm{m^{2}}] \\ \hline \sigma:\mathbf{面電荷密度}\ [\mathrm{C/m^{2}}] & U:\mathbf{静電気力による位置エネルギー}\ [\mathrm{N}] \\ \hline d:\mathbf{距離}\ [\mathrm{m}] & V:\mathbf{電位}\ [\mathrm{V}] \\ \hline W:\mathbf{仕事}\ [\mathrm{J}] & s:\mathbf{変位} \\ \hline \varepsilon:\mathbf{誘電率}\ [\mathrm{F/m}] & \varepsilon_{0}:\mathbf{真空中の誘電率} \\ \hline C:\mathbf{電気容量}\ [\mathrm{F}] & \chi_{e}:\mathbf{電気感受率} \\ \hline I:\mathbf{電流の強さ}\ [\mathrm{A}] & t:\mathbf{時間}\ [\mathrm{s}] \\ \hline n:\mathbf{電子の個数密度}\ [\mathrm{\mathbf{個}/m^{3}}] & e:\mathbf{電子一個の電荷}\ [\mathrm{C}] \\ \hline \bar{v}:\mathbf{電子の平均速度}\ [\mathrm{m/s}] & G:\mathbf{コンダクタンス}\ [\mathrm{S}] \\ \hline R:\mathbf{抵抗}\ [\mathrm{\Omega}] & i:\mathbf{電流密度} \\ \hline \kappa:\mathbf{電気伝導率}\ [\mathrm{S/m}] & \rho:\mathbf{抵抗率}\ [\Omega m]\ \rho\ =\ \frac{1}{\kappa} \\ \hline \rho_{0}:\mathbf{0度のときの抵抗率} & \alpha:\mathbf{温度係数}\ [\mathrm{1/K}] \\ \hline T:\mathbf{温度} [\mathrm{℃}] & W:\mathbf{電気量}:\ [\mathrm{kWh}],\ [\mathrm{J}] \\ \hline P:\mathbf{仕事率, 消費電力} \end{array} $$

使う公式とか

 フル暗記勢はこれを覚えてればなんとかなるんじゃない?この記事はこれらの導出を主に扱うよ。理解が大事だからね。

力と電場の関係

$$F\ =\ qE$$

電気力線数

$$N\ =\ ES$$

$$N\ =\ 4\pi kQ\ =\ \dfrac{Q}{\varepsilon_{0}}$$

面電荷密度

$$\sigma\ =\ \dfrac{Q}{S}$$

静電気力による位置エネルギー

$$U\ =\ qEd$$

電位と位置エネルギーの関係

$$U\ =\ qV$$

電位

$$V\ =\ Ed$$

電位差(電圧)

$$V\ =\ V_{A}\ -\ V_{B}$$

電荷をAからBに移動させるときの静電気力の仕事

$$W_{AB}\ =\ U_{A}\ -\ U_{B}\ =\ qV$$

電位差と電場、変位の関係

$$V\ =\ Es$$

一様電場でない点電荷$Q$と無限遠の点電荷$q$との位置エネルギー

$$U\ =\ \dfrac{kQq}{r}\ =\ \dfrac{Qq}{4\pi r\varepsilon_{0}}$$

一様電場でない点電荷$Q$と無限遠の点電荷$q$との電位差

$$V\ =\ \dfrac{kQ}{r}\ =\ \dfrac{Q}{4\pi r\varepsilon_{0}}$$

平行板コンデンサ間の電場

$$E\ =\ \dfrac{4\pi kQ}{S}\ =\ \dfrac{Q}{S\varepsilon_{0}}$$

平行板コンデンサ間の電位差

$$V\ =\ Ed\ =\ \dfrac{4\pi kQd}{S}\ =\ \dfrac{Qd}{S\varepsilon_{0}}$$

平行板コンデンサの電荷

$$Q\ =\ \dfrac{SV}{4\pi kd}\ =\ \dfrac{\varepsilon_{0}SV}{d}$$

電荷と電位差の関係

$$Q\ =\ CV$$

平行板コンデンサの電気容量

$$C\ =\ \dfrac{S}{4\pi kd}\ =\ \dfrac{\varepsilon_{0}S}{d}$$

極板間が真空であるときの電気容量

$$C_{0}\ =\ \dfrac{\varepsilon_{0}S}{d}$$

コンデンサに誘電体を挿入したときの誘電分極

$$ES\ =\ 4\pi k(Q\ -\ Q’)\ =\ \dfrac{Q\ -\ Q’}{\varepsilon_{0}}$$

コンデンサに誘電体を挿入したときの分極電荷

$$Q’\ =\ \chi_{e}\varepsilon_{0}ES$$

面電荷密度と比誘電率

$$\sigma\ =\ (1 + \chi_{e})\varepsilon_{0}E$$

比誘電率

$$\varepsilon_{r}\ =\ 1\ +\ \chi_{e}$$

誘電率

$$\varepsilon\ =\ \varepsilon_{r}\varepsilon_{0}\ =\ (1\ +\ \chi_{e})\varepsilon_{0}$$

電束密度

$$D\ =\ \varepsilon E\ =\ \sigma$$

コンデンサに誘電体を挿入したときの電位差

$$V\ =\ \dfrac{dQ}{\varepsilon S}$$

コンデンサに誘電体を挿入したときの電荷

$$Q\ =\ \dfrac{\varepsilon SV}{d}$$

誘電率$\varepsilon$の誘電体を挿入したコンデンサの電気容量

$$C\ =\ \dfrac{\varepsilon S}{d}\ =\ \varepsilon_{r}C_{0}$$

コンデンサの並列接続時の総電気容量

$$C\ =\ C_{1}\ +\ C_{2}$$

コンデンサの直列接続時の総電気容量

$$\dfrac{1}{C}\ =\ \dfrac{1}{C_{1}}\ +\ \dfrac{1}{C_{2}}$$

極板間を移動する電荷の静電気力と釣り合う外力

$$\Delta W\ =\ Fd\ =\ \Delta QV$$

コンデンサに蓄えられるエネルギー

$$U\ =\ \dfrac{Q^{2}}{2C}\ =\ \dfrac{QV}{2}$$

電流の強さ

$$I\ =\ \dfrac{q}{t}$$

$$I\ =\ en\bar{v}S$$

電流と電位差の関係

$$I\ =\ GV$$

オームの法則

$$V\ =\ IR$$

電流密度

$$i\ =\ \dfrac{I}{S}\ =\ \kappa E$$

コンダクタンス

$$G\ =\ \dfrac{\sigma l}{S}$$

抵抗値

$$R\ =\ \dfrac{\rho l}{S}$$

抵抗率の温度変化

$$\rho\ =\ \rho_{0}(1\ +\ \alpha T)$$

ジュール熱

$$Q\ =\ W\ =\ IVt$$

電気量

$$W\ =\ IVt$$

仕事率(消費電力)

$$P\ =\ \dfrac{W}{t}\ =\ IV$$

これに限らずだけど、公式というのはなんかめっちゃ多く感じるが、もちろん関連があるし、暗記する必要もそんなにない。そんなに。

本題

 さあ、ここからが本題だ。今回の範囲を振り返ってみよう。前期期末範囲は僕が忘れてない限りはあまり深入りはしない。まあ多分それなりに記憶にないから深入りするだろうけど。

電位

 電位とはなんだろうか。簡単に言えば「電荷版位置エネルギー」だ。電荷には静電気力があるのだから、電荷にも位置エネルギー的なのを定義できるはず。

 ここまでに習った位置エネルギーとは、人々の想像するいわゆる高低差に関わる潜在的なエネルギーのことであった。多分200m上空から落とした豆腐(剛体とする)が地上にいる人の頭に当たったらとっても痛いだろう。痛みを自覚する以前かもしれないが。つまり、高さによってエネルギーに差が出るのだ(雑説明なので悪しからず)。

 これを電荷と静電気力に置き換えて考えればよい

 気を付けなければいけないのは、力学的な位置エネルギーでは高低の遷移に制限はないが、ここでは一般に位置エネルギーは高い方から低い方のもののみ考えることにする。実際、現実の回路も電源装置とかで持ち上げている(よね?)。

 ぐだぐだわかりにくい説明をしたが、ここからは式的な話だ。先ほど触れたように、静電気力による位置エネルギーは力学的な位置エネルギーの式の置き換えで作ることが出来る。

 今、地面から$h\ =\ 200[\mathrm{m}]$の地点に質量$m\ =\ 0.5[\mathrm{kg}]$の豆腐があるとする。この豆腐の持つ位置エネルギーは、重力加速度を$g$とすると、

$$U\ =\ mgh$$

から、

$$U\ =\ 200\ 0.5\ g\ =\ 100\ g\ [\mathrm{J}]$$

となる。これが地表(基準点)についたときの位置エネルギー$U_{0}$は、$h\ =\ 0[\mathrm{m}]$であるから、

$$U_{0}\ =\ 0 \ 0.5\ g\ =\ 0\ [\mathrm{J}]$$

このとき、この豆腐の仕事は、

$$W\ =\ Fs,\ F\ =\ mg$$

より、

$$W\ =\ 0.5\ g\ 200$$

であり、これは位置エネルギーの差

$$U\ -\ U_{0}$$

と一致する。これを逆に考えてみると、ある地点から基準点まで移動させるときの仕事が$W$であるとき

$$U\ =\ W$$

となるだろう。仕事とは移動に対するエネルギーである(詭弁)。これを電荷に対応させよう。

 今、電場が一様だとして、基準点$O$から$d$離れたある点$P$まで正電荷$q$を移動させるとする。静電気力は、

$$F\ =\ qE$$

であったから、仕事の定義式より、このときの仕事は

$$W\ =\ qEd$$

となる。つまり、$O$を基準点としたときの$P$での位置エネルギー$U_{P}$は、

$$U_{P}\ =\ qEd$$

となる。これは負電荷でも同じだ。

 これで静電気力による位置エネルギーを定義することが出来た。ただ、正直「だから何?」という感じである。わかりにくいというか、「ほーん」程度というか。そこで理解しやすいように、この位置エネルギーを「ある電荷$q$をどこかへもっていくときに必要なエネルギー」と単純なものとして考えてみる。

$$U\ =\ qEd$$

であったから、今単純化した位置エネルギーでみてみると、$q$を$Ed$という何かで$U$というエネルギーまでもっていく、と解釈することが出来る。$q$をどこかに持っていきたいのだから、このときの$Ed$はそれにいる力というかそういうものとできる。これを一旦$V$とおいてみよう

$$U\ =\ qV$$

これで、「電荷$q$は$V$によって位置エネルギーが定められる」とできた。つまり、「$q$は$U$のエネルギーが必要なところに移動するには$V$の何かがいる」ということだ。

 ではこの$V$とはなんだろうか。先ほど

$$V\ =\ Ed$$

とおいた。$E$は電場のことで、これはある電荷に静電気力を与える能力だった。ここでは電場は一様であるから、$Ed$とは「距離$d$の地点に移動する間に電荷$q$に静電気力を与える能力」と言える。ここで単位電荷($1[\mathrm{C}]$の電荷)を持ってくると、$F\ =\ qE$より

$$W\ =\ 1\ Ed$$

という仕事が定義でき、

$$W\ =\ Ed =\ V$$

となる。そう、$V$は「$1[\mathrm{C}]$の電荷を電場$E$において$d$動かすのに必要な仕事」ということだ。そしてこれを電位と呼ぶ。こうするとさらに静電気力による位置エネルギーの意味が分かりやすくなると思う。

$$U\ =\ qV$$

なのだから、これは「位置エネルギーは、$q[\mathrm{C}]$の電荷を電場$E$において$d$動かすのに必要な仕事」ということになるのだ。

 ちなみに移動する経路に限らず$V$の値は一定である(最短距離が$d$ならどんな道でも同じ)。これは経路ごとに計算してみればわかる(電場の方向に垂直な向きの移動の仕事は0だしね)。

電位差

 ここまで扱ってきた「電位」とは、ある点と基準点の間で定義されたものである。ではこの「ある点と基準点」という部分を一般化してみよう。

 なんか難しそうな言い触れだが、やることは簡単で、つまりは「あっち」と「こっち」の電位の差を見てやるだけである。例えば、ジェイコブと半蔵の二人がいたとして、その二人は「自身と集合地点の距離」しかわからないとする(また半蔵は遅刻寸前とする)。このとき、ジェイコブと半蔵の距離は「$半蔵から集合地点\ -\ ジェイコブから集合地点$」で求めることが出来る。ジェイコブ-半蔵距離は「半蔵がジェイコブに追いつくまでに移動しなければいけない距離」である。

 同様にあっちとこっちの電位の差は「あっちからこっちに電荷を移動させるときに必要な仕事」ということになる。だから上の電位同様(形式は豆腐の例だけど)、

$$U_{あっち}\ =\ qV_{あっち}$$

$$U_{こっち}\ =\ qV_{こっち}$$

なので、

$$\begin{eqnarray}W_{あっちこっち}\ &=&\ U_{あっち}\ -\ U_{こっち} \\ &=&\ qV_{あっち}\ -\ qV_{こっち} \end{eqnarray}$$

で、

$$W_{あっちこっち}\ =\ q(V_{あっち}\ -\ V_{こっち})$$

となる。このときの$V_{あっち}\ -\ V_{こっち}$を電位差とする(そのままだ)。一般に「電圧」とよばれるものはこれのことである。

 一応上と同じアプローチで電位差を見てみよう。あっちから基準点、こっちから基準点までの仕事は、

$$W_{あっち}\ =\ qEd_{あっちから基準点}$$

$$W_{こっち}\ =\ qEd_{こっちから基準点}$$

である。つまり基準点までの位置エネルギーは、

$$U_{あっち}\ =\ qEd_{あっちから基準点}$$

$$U_{こっち}\ =\ qEd_{こっちから基準点}$$

ここからはほとんど同じだが、この位置エネルギーの差は、

$$\begin{eqnarray}U_{あっちこっち}\ &=&\ qEd_{あっち基準点}\ -\ qEd_{こっち基準点} \\ &=& q(Ed_{あっち基準点}\ -\ Ed_{こっち基準点})\end{eqnarray}$$

であり、この$Ed$の差が電位差である。つまり、あっちからこっちまでの距離が$D$とすれば$ED$がその電位差となるのだ。

$$\begin{eqnarray}V\ &=&\ Ed_{あっちから基準点}\ -\ Ed_{こっちから基準点} \\ &=&\ E(d_{あっちから基準点}\ -\ d_{こっちから基準点}) \\ &=&\ ED \end{eqnarray}$$

点電荷と周りの電位

 次に一様でない電場を考える。これまでは$E\ =\ Const.$としてやってきたが、今度はこいつも変化する。電位の定義は

$$V\ =\ Ed$$

であった。これは仕事にアプローチをかけて導出したものである。今回もそうしてみよう。

 今ここに正点電荷$Q$がある。この点電荷は周辺に

$$E\ =\ \dfrac{kQ}{r^{2}}$$

の電場を作っている。ここに正電荷$q$を持ってくる。この電荷は

$$F\ =\ qE\ =\ \dfrac{kQq}{r^{2}}$$

の静電気力を受けることになる。ではこの電荷を移動させたとき、その電位はどう変化するのか。$Q$から$p$だけ離れた点$P$から$d$だけ移動させたときの仕事は、

$$\begin{eqnarray}W\ &=&\ qEd\\ &=&\ \dfrac{kQqd}{p^{2}}\end{eqnarray}$$

であり、これを基に$q$が無限遠に移動するとして考える。一般化あるあるだね(?)。もちろん積分だ。仕事は力と変位の積だから、無限遠だとある点での静電気力とそこからの微小変位$\Delta d$の積である長方形の面積の総和になる。

$$W\ =\ \displaystyle \int_{p}^{\infty} \dfrac{kQq}{d^{2}}dd$$

dがたくさんあるのは普通に私の文字あてミスだ。まあそれはいいとして、これを計算してみよう。これは広義積分だから、

$$\begin{eqnarray}W\ &=&\ \displaystyle \lim_{b\to\infty} \displaystyle \int_{p}^{b} \dfrac{kQq}{d^{2}}dd \\ &=&\ \displaystyle \lim_{b\to\infty} \left[ -\dfrac{kQq}{d} \right]_d^b \\ &=&\ \displaystyle \lim_{b\to\infty} \left( -\dfrac{kQq}{b} + \dfrac{kQq}{p} \right) \\ &=&\ \dfrac{kQq}{p} \end{eqnarray}$$

であり、電場が一様でない点電荷の周りの位置エネルギーは

$$U\ =\ \dfrac{kQq}{d}$$

となる。また電位は、$V\ =\ Ed\ =\ \frac{U}{q}$であったから、

$$V\ =\ \dfrac{kQ}{d}$$

になる。一般に$d$は$r$と表記されるが、統一したいので$d$のままにしてある。ここで前期期末でやった静電気力の式と電場の式を思い出してみてほしい。すぐに思い出せたことだろう。

$$F\ =\ \dfrac{kQq}{d^2}$$

$$E\ =\ \dfrac{kQ}{d^2}$$

であったよね?この式と、今導出した二式を比べてみよう。アハれたかな?まあ符号とか考えると違うんだけど。

$$\displaystyle \int_{\ }^{\infty} Fdd\ \rightarrow\ U$$

$$\displaystyle \int_{\ }^{\infty} Edd\ \rightarrow\ V$$

点電荷が複数あるときは単純に足せばいいよ。

等電位面

 新聞とかテレビの天気予報に出てくる天気図、あそこには等圧線が書かれている。等圧線は同じくらいの気圧の領域を表す線だ。実際には「ここまでがこの気圧だよー」という面を鳥瞰している。

 電位にもこれを導入しよう。場所によって電位が異なるというのは説明した。それと同様に同じ電位を持つ場所もある。電位は電場の強さと距離によって決まるのだから。そこで、同じくらいの電位である点をばーって集めた領域を考えて、そこの境界を等電位面とする。

めっちゃテキトー。ピンクが等電位面。

 等圧線の間隔が狭いところでは風が強く、広いところでは風が弱い。等電位面も同じように、間隔が狭ければ電場が強く、広ければ電場が弱い。ここからわかるように、等電位面は電場の向きと垂直だ(線が束になって進んでいると、進行方向からは面が近づいているように見えるよね)。

 また、電場は静電気力を与える能力を持っているのだが、その静電気力というのは電場の方向を向くのだから、静電気力も等電位面と垂直になっている。もし、等電位面に平行に電荷を移動させた場合、その電荷には垂直の方向に静電気力がかかることになる。逆に言えば移動したい方向に静電気力はかからない。つまり、仕事が0になるということだ。$W\ =\ Fs$だからね。

導体

 これまでは空間的な電場を考えていた。帯電した「面」とかはあったけど。ここでは「物体」について考えてみる。

 電気をよく通す物体のことを導体という。金属とか。逆に、電気をあまり通さない物体は不導体という。ゴムとか。不導体は電気を一切通さないわけではない。めっちゃ通りにくいだけだ。

 1年だったか2年のときの化学の授業で「金属結合」というものをやったはずだ。金属が結合しているときは、金属原子が陽イオンとなっていて、そのときに出た電子が自由電子となって結合させている……みたいなやつだ。導体、というか自由電子、というか伝導電子というのは金属特有のものではないのだが、そこらへんはいろいろ面倒なことになるため、ここでは「導体が何か」については触れず、単に「導体」として扱う。

 さて、ここには一つの導体がある。導体の中には自由電子がうようよしていて規則的ではない。そこに帯電体を近づけてみよう。そうすると、正帯電体の方には負電荷負帯電体には正電荷(こっちは形式的)が移動してくる。このことを静電誘導という。このとき、帯電体の方では正帯電体から負帯電体の方に、導体の中では正電荷から負電荷の方向に電場が作られる。帯電体の電場と導体の電場は逆向きになっているから、導体の中では電場が打ち消しあう。つまり、導体の中では電場は0だ。また、正電荷のいる方を$V_{正}$、負電荷のいる方を$V_{負}$とすると、導体内の電位差は、

$$V_{正}\ =\ E_{導体}d_{正電荷と負電荷の距離}\ =\ 0$$

$$V_{負}\ =\ E_{導体}d_{負電荷と正電荷の距離}\ =\ 0$$

$$V_{導体}\ =\ V_{正}\ -\ V_{負}\ =\ 0$$

となるから、電位差は0となり導体自体の電位は常に一定である。

 では、不導体に帯電体を近づけるとどうなるだろう。「なにも変化しないんじゃない?」と思われるかもしれないが、実はそうではない。導体と不導体の違いと言えば自由電子の存在で、不導体に帯電体を近づけても自由電子が寄ってくることは無いが、構成する原子やら分子自体には電荷(の偏り)があるのだから、不導体ではこれらが反応する。

 帯電体を近づけると、方位磁針に磁石を近づけた時のように、不導体の中の原子やら分子の電荷がぐわんと移動する。そして方位磁針自体は移動しないように、その原子や分子もその場にいるままだ。この反応のことを誘電分極という。「分極」とあるように、疑似的に片方が正、片方が負になるのだ。ここまでは静電誘導と同じように思えるが、誘電分極では静電誘導とは異なり、正電荷と負電荷が交互に並んでいるような状態になっているから、不導体内には電位差が発生する。また同様に帯電体による電場と不導体の電場には差が出て、電場を打ち消すことは無い(不導体内の電場の分だけ帯電体による電場が弱くなる)

コンデンサ

 導体の静電誘導を利用したものがコンデンサである。電荷を蓄えたり放出したりすることで回路内の電流量を調整する働きを持つ。ただ、蓄えられる電荷は大きくない(大きい電荷はバッテリーのおしごと)。

 コンデンサにはいろいろなタイプがあるが、ここでは単純な平行板コンデンサを題材にする。平行板コンデンサは2つの極板を平行に向い合せることで作ったコンデンサである。

 これを電源につないだとき、片方に自由電子が移動して負に帯電し、もう片方は結果的に正に帯電する。そうすることで極板の間には電場ができる。極板の上と下には電場ができない(打ち消しあうから)。逆に、極板の間の電場は、正帯電から外に出る電場と負帯電に向かう電場とで二倍の強さになる。これは前期期末で扱った、二枚の平行な帯電平面と同じである。極板の電荷を$Q$、極板の面積を$S$とすると、ガウスの法則から

$$\begin{eqnarray}ES\ &=&\ 4\pi kQ \\ E\ &=&\ \dfrac{4\pi kQ}{S} \\ &=&\ \dfrac{Q}{\varepsilon_{0}S}\end{eqnarray}$$

より帯電平面一つの電場は

$$\begin{eqnarray}E\ &=&\ \dfrac{2\pi kQ}{S} \\ &=&\ \dfrac{Q}{2\varepsilon_{0}S}\end{eqnarray}$$

であったから、このコンデンサの電場の強さは

$$\begin{eqnarray}E\ &=&\ 2\dfrac{2\pi kQ}{S} \\ &=&\ \dfrac{4\pi kQ}{S} \\ &=&\ \dfrac{Q}{\varepsilon_{0} S}\end{eqnarray}$$

となる。極板の電位差は極板の距離を$d$とすると、$V\ =\ Ed$より

$$\begin{eqnarray}V\ &=&\ \dfrac{4\pi kQd}{S} \\ &=&\ \dfrac{Qd}{\varepsilon_{0}S}\end{eqnarray}$$

であり、これから極板の電荷は

$$\begin{eqnarray}Q\ &=&\ \dfrac{SV}{4\pi kd} \\ &=&\ \dfrac{\varepsilon_{0}SV}{d}\end{eqnarray}$$

と求めることが出来る。

 コンデンサに蓄えられる電荷$Q$と極板間の電位差$V$には比例関係があることが知られている。

$$Q\ =\ CV$$

このときの比例定数$C$を電気容量とか静電容量とかとよぶ。単位は$[\mathrm{F}]$で読みはファラッド。平行コンデンサでは電気容量は、

$$\begin{eqnarray}Q\ &=&\ \dfrac{S}{4\pi kd}V \\ C\ &=&\ \dfrac{S}{4\pi kd} \\ &=&\ \dfrac{\varepsilon_{0}S}{d} \end{eqnarray}$$

となる。のちのち使うことになるから$\varepsilon_{0}$の表記もしている。

誘導体を挿入したコンデンサ

 誘導体とは不導体とか絶縁体とかのことである。誘導体を挿入することで誘電分極が起こり、これによって電荷をためやすくなったり電気容量が増えたりする。

 コンデンサに誘導体を挟むことで誘電分極が起こったとき、コンデンサの電荷は分極電荷との差分になる。分極電荷の大きさは電場の強さと極板の面積に比例する。電場が強ければその分偏る電荷は大きくなるし、極板の面積が大きければ表面に来る電荷の量が大きくなる。分極電荷を$Q’$とすると、

$$Q’\ =\ \chi_{e}\varepsilon_{0}ES$$

である。比例定数$\chi_{e}$は電気感受率というもので、誘電分極の起こりやすさを表している。これを基に誘導体を挿入していないコンデンサと同じ方法で電気容量を求めてみよう。

ガウスの法則より、コンデンサの電荷は分極電荷との差分になるのだから、

$$ES\ =\ 4\pi k(Q\ -\ Q’) = \dfrac{Q\ -\ Q’}{\varepsilon_{0}}$$

分極電荷の式を代入

$$\begin{eqnarray}ES\ &=&\ \dfrac{Q}{\varepsilon_{0}}\ -\ \dfrac{1}{\varepsilon_{0}}\chi_{e}\varepsilon_{0}ES \\ &=&\ \dfrac{Q}{\varepsilon_{0}}\ -\ \chi_{e}ES \\ ES\ +\ \chi_{e}ES\ &=&\ \dfrac{Q}{\varepsilon_{0}} \\ (1\ +\ \chi_{e})ES\ &=&\ \dfrac{Q}{\varepsilon_{0}} \\ (1\ +\ \chi_{e})\varepsilon_{0}E\ &=&\ \dfrac{Q}{S} \end{eqnarray}$$

右辺の$\frac{Q}{S}$は面電荷密度$\sigma$の定義である。なぜこのような展開をしたかと言えば、右辺は面電荷密度になるし、そもそも分極電荷は電場と面積によるものであるから、両辺にそれぞれおいておけるようにするためである。また、$1\ +\ \chi_{e}$は比誘電率というもので、物質の誘電率と真空中の誘電率の比$\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}}$によって定められるものであり、$\varepsilon_{r}$と置く。また左辺の

$$(1\ +\ \chi_{e})\varepsilon_{0}$$

は、$\varepsilon_{r}$を用いて表記すれば$\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}$でありこれは比誘電率の定義から

$$\varepsilon\ =\ \varepsilon_{r}\varepsilon_{0}$$

となる。このときの誘電率$\varepsilon$が誘電体の誘電率である。これを使って上の式を書き直すと、

$$\varepsilon E\ =\ \dfrac{Q}{S}$$

になる。ここまでなんか難しそうないろいろが出てきたが、これらは全て分極電荷を基に考えた場合である。ただなんか面倒だし、分極電荷がわかるとは限らないため、ここで

$$D\ =\ \varepsilon E$$

で定められる電束密度というものを導入する。これはまんま上の式の左辺である。しかも挿入した誘電体の誘電率$\varepsilon$がわかればいいのだから役得だ。また

$$\dfrac{Q}{S}\ =\ \sigma\ =\ D$$

である。これにより誘電体を挿入したコンデンサの電場は、

$$E\ =\ \dfrac{Q}{\varepsilon S}$$

と求まる。また電位差は$V\ =\ Ed$であるから、

$$V\ =\ \dfrac{Qd}{\varepsilon S}$$

となり、電荷は

$$Q\ =\ \dfrac{\varepsilon S}{d}V$$

に定まる。ここから先は上のコンデンサの電気容量同様に、$Q\ =\ CV$だから、

$$C\ =\ \dfrac{\varepsilon S}{d}$$

になる。平行板コンデンサ間に誘導体を挿入していない場合の電気容量を$C_{0}$とすれば、

$$C_{0}\ =\ \dfrac{\varepsilon_{0}S}{d}$$

であり、これは真空を誘導体としている。$\varepsilon_{0}\ <\ \varepsilon$であるから、

$$C\ >\ C_{0}$$

という関係になる。また$\varepsilon\ =\ \varepsilon_{r}\varepsilon_{0}$であったから、

$$C\ =\ \varepsilon_{r}\varepsilon_{0}\dfrac{S}{d}\ =\ \varepsilon_{r}C_{0}$$

という形にできる。

コンデンサのエネルギー

 コンデンサに蓄えられるエネルギーを静電エネルギーという。この静電エネルギーを求めよう。電位のところで触れたように、エネルギーは仕事によって求めることが出来る。ここでは、極板の間を移動する電荷に働く静電気力と釣り合う外力のする仕事で考える。静電気力は自ずと働くからね。まあ静電気力と釣り合う外力の大きさは静電気力と同じなのだけども。

図作るの下手すぎる。

 さて、仕事の定義は$W\ =\ Fs$であった。この$F$が静電気力と釣り合う外力、$s$は極板の距離だ。ここでコンデンサには$Q$の電荷があるとして、微小電荷$\Delta Q$が移動するとしよう。積分確定演出だ。静電気力と釣り合う外力の大きさ、つまり静電気力の大きさは電場の強さが$E$のとき

$$F\ =\ \Delta QE$$

だから、極板が$d$離れているとして、外力がする仕事は

$$W\ =\ \Delta QEd$$

$V\ =\ Ed$より

$$W\ =\ \Delta QV$$

となる。電気容量を用いて表すと、$Q\ =\ CV$であったから、電荷$Q$の極板から$\Delta Q$が移動したときの仕事は

$$W\ =\ \Delta Q\dfrac{Q}{C}$$

となる。またこのときの極板の電荷は$Q\ +\ \Delta Q$である。勘が良ければここでインテグラルが浮き出てくるだろう。さあ、今度は極板上の電荷が0から$Q$になるまでに必要な仕事を考えよう。やることは単純。この式を0から$Q$までの区間で積分してあげるだけだ。

$$\begin{eqnarray}W\ &=&\ \displaystyle \int_{0}^{Q} \dfrac{Q}{C} dQ \\ &=&\ \left[ \dfrac{Q^{2}}{2C} \right]_0^Q \\ &=&\ \dfrac{Q^{2}}{2C} \end{eqnarray}$$

したがって、静電エネルギー$U$は

$$U\ =\ \dfrac{Q^{2}}{2C}$$

と求まる。$Q\ =\ CV$という関係から、

$$U\ =\ \dfrac{QV}{2}\ =\ \dfrac{CV^{2}}{2}$$

と変形することが出来る。

コンデンサの接続

 抵抗のような感覚でコンデンサを接続することができる。回路の電圧を$V$、蓄えられる電荷を$Q$とする。また、接続するコンデンサは2つで、それぞれ電気容量は$C_{1}$、$C_{2}$である(それ以外の物理量の添え字もこれに従う)。

 並列接続をすると、各コンデンサの電位差はどちらも$V$となる。これは、分岐してコンデンサを通った後また同じ地点で再開する、つまり同じ分だけ電圧が下がるからである。各コンデンサに蓄えられる電荷は

$$Q_{1}\ =\ C_{1}V$$

$$Q_{2}\ =\ C_{2}V$$

となる。また蓄えられる電荷$Q$は

$$\begin{eqnarray}Q\ &=&\ Q_{1}\ +\ Q_{2} \\ &=&\ C_{1}V\ +\ C_{2}V \\ &=&\ (C_{1}\ +\ C_{2})V \end{eqnarray}$$

であり、回路全体の電気容量は

$$C\ =\ C_{1}\ +\ C_{2}$$

となる。

 直列接続をすると、各コンデンサに蓄えられる電荷は等しくなる(初めに電荷が蓄えられていないとすれば)。これは、各コンデンサの内側の極板は回路から独立していて、ここにもし電荷の偏りがあれば、その分反対側の極板に移動するのだから、内側の電荷の大きさの絶対値は等しくなり、結果的に蓄えられる電荷は同じものになるからだ。つまり、

$$-Q_{1}\ +\ Q_{2}\ =\ 0$$

$$Q_{1}\ =\ Q_{2}\ =\ Q$$

である。また電位差は、並列同様に考えてみると下り坂が連続しているような解釈ができる。つまり、コンデンサによって電位差は異なる。$Q\ =\ CV$だから

$$V_{1}\ =\ \dfrac{Q}{C_{1}}$$

$$V_{2}\ =\ \dfrac{Q}{C_{2}}$$

であり、回路全体の電位差は

$$\begin{eqnarray}V\ &=&\ V_{1}\ +\ V_{2} \\ &=&\ \dfrac{Q}{C_{1}}\ +\ \dfrac{Q}{C_{2}} \\ &=&\ Q(\dfrac{1}{C_{1}}\ +\ \dfrac{1}{C_{2}}) \end{eqnarray}$$

となる。また回路全体の電気容量は

$$\dfrac{1}{C}\ =\ \dfrac{1}{C_{1}}\ +\ \dfrac{1}{C_{2}}$$

になる。

 並列と直列が同時に存在しているとき、まず並列の方を一つのコンデンサとして直列のみにして計算する。やることは単独と変わらないため説明は省略する。

電流

 ここからはTHE電気って感じのやつを扱う。まずは電流だ。電流とは電荷の移動のことである。電流が流れているのではなく、あくまでも正電荷が流れている。だから電子の移動する向きと逆になる。こういう説明をすると「じゃあ逆じゃん」と思うかもしれないが、電荷は電子だけの話ではないからここに矛盾は無い。ちなみに陽子は正電荷を持つ。あと電流はスカラーだ。だから「電流の向きは正電荷の移動する方向」という感じで大きさと向きを独立して考えてるよ。またここでは直流について考える。つまり流れる向きは一定である。

 電流の強さ$I$は一定時間$t$の間に通った電荷の大きさ$q$を単位時間あたりに見たものである。

$$I\ =\ \dfrac{q}{t}$$

なんて簡潔な式なんでしょう。この式は静かに「単位時間に通った電荷の大きさ」を表している。

 さっきは電荷の大きさで見ていたが、今度は通った電子というもう少し小さな視点で考えてみる。つまり、「単位時間に通過してきた電子の電荷の大きさ」である。「通過してきた」という表現にしているのは、電流は正電荷の移動だからである。負電荷(電子)の移動は相対的に正電荷が移動しているとでき、その方向は逆となるからだ。電子一個の電荷の大きさを$-e$とする(ただし正電荷なので実際に使う値は$e$)。また考えるのは通過してくる電子の個数であり、ある断面を通過点とすれば、その断面を時間$t$の間に通過してくる電子はその時間に通過することのできる限界の遠さまでにいることとなる。

 電子の平均速度を$\bar{v}$とすれば、その限界の遠さは

$$\bar{v}t$$

になる(み=はじ())。このままでは結局電子の個数はわからない(可能性は無限大だもん)。そこで個数密度$n$を導入する。これは体積当たりに何個存在しているのかを示している。ここでいう体積は、通過点となる断面からその時間に通過することのできる限界の遠さまでの体積だから、断面積を$S$とすると

$$\bar{v}tS$$

となる。よって通過してくる電子の個数は

$$n\bar{v}tS$$

になる。したがって、時間$t$に通過する電荷の大きさは

$$q\ =\ en\bar{v}tS$$

と求まる。だから電流の強さは、

$$\begin{eqnarray} I\ &=&\ \dfrac{en\bar{v}tS}{t} \\ &=&\ en\bar{v}S\end{eqnarray}$$

である。

オームの法則

 電流が流れているときそこには電位差があるのだが、このときの電位差は流れている電流に比例している。

$$V\ =\ IR$$

これをオームの法則という。そしてこの比例定数$R$を抵抗という。やっと出てきた抵抗。抵抗値は

$$R\ =\ \dfrac{V}{I}$$

で求めることができる(当たり前)。ある電圧$V$があれば、流れている電流が大きければ大きいほど抵抗値は小さくなる。逆に、流れている電流が小さければ小さいほど抵抗値は大きくなる。つまり、抵抗というのは電流の流れにくさの指標である。

電流に着目すると、

$$I\ =\ \dfrac{V}{R}$$

であり電流は抵抗の逆数を比例定数にして電圧と比例関係にあると言える。この抵抗の逆数を$G$とおくと

$$I\ =\ GV$$

となり、この$G$はコンダクタンスと呼ばれるもので、電流の通りやすさを表している。

 電流のときのようにもう少し小さな視点で考えてみる。今度は電位差が発生しているときの抵抗部分の中身だ。上で言ったように、抵抗というのは電流の流れにくさであった。ここに着目する。最終的には単位面積当たりの電流と電場でオームの法則を捉えたい。

 長さが$d$で断面積が$S$の抵抗器を考える。また$E$の電場があるとする。この抵抗器の電位差は

$$V\ =\ Ed$$

である。ここで単位面積当たりの電流の大きさを表す電流密度$i$を導入する(一般に$j$とおくが、ここは授業に従う)。この抵抗器を流れる電流の大きさは、

$$I\ =\ iS$$

となる。ここで抵抗は電流と電圧の比であったから、

$$R\ =\ \dfrac{Ed}{iS}$$

である。これを電流密度について解くと

$$i\ =\ \dfrac{Ed}{RS}$$

になる。この式が単位面積当たりの電流と電場に着目したときのオームの法則である。このときの比例定数

$$\dfrac{d}{RS}$$

電気伝導率と呼ばれるもので、$\kappa$と置かれる(授業では$\sigma$としたが被るので)。よってオームの法則は

$$i\ =\ \kappa E$$

と求まる。つまり、電場が強ければ強いほど流れる電流の量が大きくなるということだ。電位差が一定であるとすると、抵抗が大きくなればなるほど電気伝導率は小さくなり、流れる電流の量は小さくなる。逆もしかりだ。

$\kappa\ =\ \frac{i}{E}$であるから、電流密度による抵抗値の式より、

$$R\ =\ \dfrac{d}{\kappa S}$$

となる。またこの$\frac{1}{\kappa}$は電気抵抗率とよばれるもので$\rho$で置かれる。したがって

$$R\ =\ \dfrac{\rho d}{S}$$

になる。つまり、電気抵抗率が大きければ大きいほど抵抗も上がることになる(当たり前)。ここら辺は多分知らんでもいい。

 授業では発展的内容として電気伝導率について解説があったが、これに関しては余裕があれば追記する。書いてあるということは余裕があったということだ。

抵抗率の温度変化

 導体の抵抗は温度が上がるにつれて大きくなる。導体内を電子が移動するときに金属イオンと電子が相互反応(金属結合による)して格子振動が起こり、それが電子の移動を妨げることで通りにくくなる。温度が上がるにつれて格子振動が大きくなるため、上がるにつれて抵抗が大きくなる(フォノンが多くなる)。これは電気抵抗率によって求めることができる。導体における$0℃$のときの電気抵抗率を$\rho_{0}$として、温度$T℃$のときの電気抵抗率$\rho$は温度係数$\alpha$を用いると

$$\rho\ =\ \rho_{0}(1\ +\ \alpha T)$$

で示される。これは近似であり、電気抵抗率自体は非線形である。

ジュール熱と電力量と電力

 ここまでいろいろな仕事について考えてきた。今度は電流による仕事を考えてみよう。電流の定義は

$$I\ =\ \dfrac{q}{t}$$

であった。また電流とよく関係を考えてきた電位差であるが、これに関する仕事は位置エネルギーとして

$$U\ =\ qV$$

と求めた。電流の定義式より、この位置エネルギー(以降は仕事$W$)は

$$W\ =\ IVt$$

となる。あれ……?簡単に求まっちゃった。ちなみにこの仕事を電気量という。電気炬燵のように電流を流すことで熱を出す装置はこの仕事を利用している。そう、この仕事はある一定時間電流が流れるときに失われるエネルギーの量であり、このときに使われるエネルギーは熱となって出てくる。いわゆる散逸だ。またこのとき出てくる熱をジュール熱という。

 この電気量というのは一定時間におけるものであり、これを時間で割ると電力$P$という単位時間における仕事の大きさになる。電力は消費電力といったりする。

$$\begin{eqnarray}P\ &=&\ \dfrac{W}{t} \\ &=&\ IV \end{eqnarray}$$

またオームの法則より

$$\begin{eqnarray} P\ &=&\ I^{2}R \\ &=&\ \dfrac{V^{2}}{R} \end{eqnarray}$$

と変形できる。

 ちょっと簡単に求められ過ぎたから、これも電子単位で見てみよう。今回は上の式と同じ形を目指す。

通過してくる電子が受ける力は$F\ =\ qE$より、電子の電荷を$-e$、電場の大きさを$E$とすると、

$$F\ =\ eE$$

となる。$V\ =\ Ed$より、

$$F\ =\ \dfrac{eV}{d}$$

になる。仕事は力と変位の積であったから、一定時間$t$の電子の変位は電子の平均速度を$\bar{v}$とすると$\bar{v}t$だから、電子が電場から受ける仕事は

$$W_{e}\ =\ \dfrac{eV\bar{v}t}{d}$$

である。$d$の中にある電子全体が受ける仕事は、個数密度$n$から断面積が$S$のとき$d$の中の電子の個数は$ndS$だから、

$$\begin{eqnarray}W\ &=&\ W_{e}ndS \\ &=&\ \dfrac{eV\bar{v}t}{d}ndS \\ &=&\ eV\bar{v}tnS \end{eqnarray}$$

となり、$I\ =\ en\bar{v}S$であったから

$$\begin{eqnarray}W\ &=&\ en\bar{v}SVt \\ &=&\ IVt \end{eqnarray}$$

と求まる。いいね、いいかんじで同じ形が求まった。

直流回路と電圧

 ここからはもっと簡単な、というか知ってるだろって話になる。ここまで何回も使ってきた電位差をここでは電圧として扱う。

 ある電気回路に電源を入れたとき、電流は始点から終点へ向かってぐるぐる回り始める。このとき途中に抵抗となるものがあれば、その抵抗分電圧が下がる($V\ =\ IR$)。そして電圧が下がった状態で終点に来て、電源で元の電位に引き上げられる。これが「単純な」回路の電圧のシステムだ。電源で引き上げられる電位を起電力という。またこのシステムからわかるように、回路を一周したときの電位の動きの総和は0だ。回路内の抵抗で下がった分だけ電源で引き上げられるのだから。

直流回路と抵抗

 コンデンサの接続のように抵抗の接続を考えよう。回路の電圧を$V$、電流の大きさを$I$とする。また、接続する抵抗は2つで、それぞれ抵抗値は$R_{1}$、$R_{2}$である(それ以外の物理量の添え字もこれに従う)。コンデンサとは逆に直列→並列の順で説明する。

 抵抗を直列に接続したとき、そこに流れる電流の量は等しい。流れている電子の数は変わらないから。抵抗による電位差は、

$$V_{1}\ =\ R_{1}I$$

$$V_{2}\ =\ R_{2}I$$

となり、抵抗全体での電位差は

$$\begin{eqnarray}V\ &=&\ V_{1}\ +\ V_{2}\ \\ &=&\ R_{1}I\ +\ R_{2}I \\ &=&\ (R_{1}\ +\ R_{2})I \end{eqnarray}$$

であり、回路全体の抵抗値は

$$R\ =\ R_{1}\ +\ R_{2}$$

となる。

 抵抗を並列に接続したとき、そこにかかる電圧は等しい。電流が分岐して、抵抗を通過してまた合流するときの地点の電位は等しいから(そうじゃないと合流できない(気がする))。抵抗による電流の大きさは、

$$I_{1}\ =\ \dfrac{V}{R_{1}}$$

$$I_{2}\ =\ \dfrac{V}{R_{2}}$$

となり、抵抗全体での電流は

$$\begin{eqnarray}I\ &=&\ I_{1}\ +\ I_{2} \\ &=&\ \dfrac{V}{R_{1}}\ +\ \dfrac{V}{R_{2}} \\ &=&\ V(\dfrac{1}{R_{1}}\ +\ \dfrac{1}{R_{2}}) \end{eqnarray}$$

となる。また回路全体の抵抗値は

$$\begin{eqnarray}\dfrac{1}{R}\ &=&\ \dfrac{1}{R_{1}}\ +\ \dfrac{1}{R_{2}} \\ &=&\ \dfrac{R_{1}\ +\ R_{2}}{R_{1}R_{2}} \end{eqnarray}$$

となり、これの逆数が全体抵抗となる(このままだと回路全体のコンダクタンスである)。

$$R\ =\ \dfrac{R_{1}R_{2}}{R_{1}\ +\ R_{2}}$$

電池の内部抵抗

 これまでは回路における抵抗は電源を除いた部分のみで考えていた。実際には電源部分の内部抵抗があり、電圧はその分下がる。ここでは特に電源として電池を扱う。

 我々が実際に観測する(理想的として)電圧は端子電圧というもので、起電力とは異なるものである。もちろん電流が流れていないときは、端子電圧と起電力の大きさは等しいが、一度電流が流れると端子電圧の方が起電力よりも小さくなる

 電気回路の起電力を$E$、端子電圧を$V$、回路中の抵抗を$R$、流れる電流を$I$とする。電流が流れると

$$V\ <\ E$$

となるわけだが、このとき降下する電圧が電源の内部抵抗によるものなのだ。このとき降下する電圧$V_{i}$は、内部抵抗を$r$とすると

$$V_{i}\ =\ rI$$

であるから、この回路の端子電圧は

$$V\ =\ E\ -\ rI$$

となる。内部電圧は回路の抵抗と直列に接続されているから、そのままかけたものを引くだけで求まる。

授業で触れてないやつ

 授業で触れてないけど、先生の作った演習問題にはでてきたりしたやつらを触っていく。ここからは先生の作成した資料がないから、いろいろなサイトとかを参考にして書いている。

コンデンサと電源

 いままでは回路には電源がいた。こいつが電位差をつくることで電流があるわけだが、今回考える回路には電源はおらずコンデンサのみであるから、それがどう作用するのかみてみよう。

 静電容量Cのコンデンサに電圧Eをかけて充電した――起電力がEの電源をつないで十分な時間放置させた――とする。このときコンデンサに蓄えられた電荷Qは

$$Q\ =\ CE$$

である。さて、このときのコンデンサの電圧はどうなっているだろうか。まあ単純な話で、十分に電荷が蓄えられたのなら

$$V\ =\ \dfrac{Q}{C}\ =\ E$$

となる。電源の電圧とコンデンサの電圧が等しいのだから、このとき回路には電流が流れていない。……と言われても「は?」という感じだろう。なので「十分な時間放置させた」という文章を消してみる。

 電源装置とコンデンサがつながれていて、電源装置の電源はオフになっている。もちろんこのとき電流は流れていない。電源は付いてないし、コンデンサには電荷は蓄えられていないしで電位差が生じていないからだ。

 では電源装置をオンにしてみよう。そうすると回路に電流が流れ、徐々にコンデンサに電荷が蓄えられていく。そうすればコンデンサの電圧も徐々に上がっていく。このときの電圧は、蓄えられた電荷を$q$とすると

$$V\ =\ \dfrac{q}{C}$$

である。最終的に蓄えられる電荷を$Q$とすれば、時間がたつと$Q\ -\ q$の値が小さくなることになる。電源の起電力が$E$なのだから$Q$の値は$E$により定まりこれが定数になる。電荷の差が小さくなるということは、その分回路に流れる電荷の量も小さくなるということだ。これは、コンデンサには$Q\ -\ q$の余裕があり、この分だけ電源からコンデンサに向かって電荷は移動できるからだ。そして$q\ =\ Q$となったときに電荷は移動できなくなり、電流は流れなくなる

 なんかわかりにくくなったような気がする……。簡単に言えば、コンデンサに電荷が蓄えられきったときのコンデンサの電位差は電源の電位差と等しいから、電源のプラス側とコンデンサのプラス側の電位は等しいことになる、ということだ。そして電源とコンデンサの極板に電位差がないから電荷は移動せず、電流は流れないことになる。ちなみにこの「電流が流れていない」状態を定常状態、「電流が流れている(充電されている)」状態を過渡状態という。

参考

最後に

 総編集時間はだいたい20時間くらいだった。思ったより時間がかかった。